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四面体体积公式(四面体和三棱锥的区别)

什么是四面体 四面体是由四个平面组成的多面体,而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。 四面体的概念 …

什么是四面体

四面体
是由四个平面组成的多面体,而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。

四面体体积公式(四面体和三棱锥的区别)插图

四面体的概念

定义
由四个三角形,六条棱组成的物体 是三棱锥。 也就是四面体

四面体有什么性质定理

正四面体的性质:设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的
(1)全面积 S全= 32a; (2)体积 V=
3
212
a

(3)对棱中点连线段的长 d=
22
a
;(此线段为对棱的距离,若一个球
与正四面体的6条棱都相切,则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 =1
arccos3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=1
arccos3
(7)外接球半径 R=
64
a

(8)内切球半径 r=
612
a
.
(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
四面体的性质
如果从面的数目上来说,四面体是最简单的多面体。
一.四面体性质
1.四面体的射影定理:如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O,△ABC的面积为S1,△ADC的面积为S2,△BCD的面积为S3,△ABD的面积为S4,二面角A-BC-D为θ1-3,二面角A-DC-B
为θ2-3,二面角
A-BD-C为θ3-4,二面角C-AB-D为θ1-4,二面角C-AD-B为θ
2-4,二面角B-AC-D为
θ
1-2,则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4 S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4 S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4 S4 = S1cosθ
1-4 + S2cosθ
2-4 + S3cosθ
3-4
2.性质2(类似余弦定理)
S12
= S22 + S32 +S42 – 2S2S3 cosθ2-3 – 2S2S4 cosθ2-4 – 2S3S4 cosθ3-4 S22 = S12 + S32 +S42 – 2S1S3 cosθ1-3 – 2S1S4 cosθ1-4 – 2S3S4 cosθ3-4 S32 = S12 + S22 +S42 – 2S1S2 cosθ1-2 – 2S1S4 cosθ1-4 – 2S2S4 cosθ2-4 S42 = S12 + S22 +S32 – 2S1S2 cosθ1-2 – 2S1S3 cosθ1-3 – 2S2S3 cosθ2-3
特别地,当cosθ
1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0,即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二
面角(也就是AB、AC、BC两两垂直)时,有S32 = S12 + S22 +S42,
证明:S32
= S3S1cosθ
1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4 = S1 S3cosθ
1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
= S1(S1 – S2cosθ
1-2 + S4cosθ1-4)+S2(S2 – S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4)+S4(S4 – S1cosθ1-4 +
S2cosθ2-4)
= S12 + S22 +S42 – 2S1S2 cosθ
1-2 – 2S1S4 cosθ1-4 – 2S2S4 cosθ2-4
二.正四面体的性质
设正四面体的棱长为,则这个正四面体的
a

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(1)全面积 S全= 32a; (2)体积 V=
3
212
a; (3)对棱中点连线段的长 d=
2
2
;(此线段为对棱的距离,若一个球与正四面体的6条棱都相切,则此线段就是该球的直径。)
(4)相邻两面所成的二面角 =1
arccos3

(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=1
arccos3

(7)外接球半径 R=
6
4
; (8)内切球半径 r=
6
12
. (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 三.直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质: 如图,在直角四面体AOCB中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=,OB=,OC=.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形;
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心;
③体积 V= 1
6

④底面面积S△ABC=22
222212abbcca; ⑤S2△BOC
=S△BHC·S△ABC;
⑥S2
△BOC+S2
△AOB+S2
△AOC=S2
△ABC

2222
1111
OHabc; ⑧外接球半径 R= 2
2212abc; ⑨内切球半径 r=AOBBOCAOCABC
SSSSabc

三.应用
由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知,正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。 若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为′,正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,
aaaabcabcaaA
B
C
D
O H

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正方体的内切球...及正四面体的棱切球...
半径分别为r、r',易知有如下结论: 性质①正四面体内接于一正方体,且a′=a2
性质②V正四面体=31V正方体=3
1
a3
性质③R'=R =
2
3a 性质④r'=r=2
1
(证明略)
利用上述结论可迅速解决如下各题:
例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果 E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)
(A) 90° (B)60° (C)45° (D)30°
分析:本题若仔细观察已知条件,易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体(如图2),显然,EF在正方体的两底面的中心连线上,与正方体的侧棱SD平行,由∠ASD=45°,知选(C).
例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)
本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.
解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为2.故V
正方体
=(2)3=22 ∴V正四面体=31V正方体=3
3
2 。
例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为__________. (2000年全国高中数学竞赛试题)
本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体,然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.
解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可知正四面体的棱切球即为正方体的内切球.
∵正四面体的棱长为a ∴正方体的棱长为
2
2a ∴正方体的内切球半径 r=
4
2a ∴V棱切球=34πr3=34π×(42a)3=24
2a3
.
例4.如图S-ABC 是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F,则线段EF的长是____.(2000
A
B
C
D
E
F
G
HAD
B
C
S
E
F

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年春季高考题)
分析:连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H,易知 EF=32GH=3
1
AB,故只需求出正四面体的棱长即可,本题若直接由体积求棱长有一定的难度,若根据习
题结论①②,先把正四面体补成正方体,则V正方体=3V正四面体=216,故正方体的棱为6,而正四面体的棱
长为62,所以EF=3
1
AB=22.
例5.正三棱锥A- BCD得侧棱长与底面边长相等,顶点A、B、C、D在同一个球面上,CC1和DD1是该球得直径,则平面ABC与平面AC1D1所成角的正弦值为____________.(第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:利用习题结论①③可知,正三棱锥A-BCD与它外接正方体的各顶点共球面.故构造如图5的正方体AD1CB1- C1BA1D,易知CC1与DD1就是该球的直径.取AB的中点O,连D1O、CO,则∠COD1是平面ABC与平面AC1D1所成的锐角二面角,于是
sin∠COD1=COCD1=3
6

例6.半径为R的球的内接正四面体的体积等于___________. (第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为
R3
3
2,其体积为V正方体=(
R332)3=R2734,V正四面体=R27
38.

四面体的样子。图片

四面体的每一个面都是三角形,一共有四个面,四个顶点,六条棱,见图。正四面体表示的是一种特殊的四面体,它的每一个面都是正三角形(等边三角形)。实体的话,你想象一下金字塔应该就知道了。

正四面体有什么性质

1、正四面体的每一个面是正三角形,反之亦然。2、正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。3、正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。4、正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点。5、正四面体的四个旁切球半径均相等,等于内切球半径的2倍,或等于四面体高线的一半。6、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心,或内心,或垂心,或重心,除外心外,其逆命题均成立。7、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和,小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。8、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。9、对于四个相异的平行平面,总存住一个正四面体,其顶点分别在这四个平面上。

扩展资料

正四面体的特征:
正四面体是五种正多面体中的一种,有4个正三角形的面,4个顶点,6条棱。正四面体不同于其它四种正多面体,它没有对称中心。正四面体有六个对称面,其中每一个都通过其一条棱和与这条棱相对的棱的中点。正四面体很容易由正方体得到,只要从正方体一个顶点A引三个面的对角线AB,AC,AD,并两点两点连结之即可。正四面体和一般四面体一样,根据保利克-施瓦兹定理能够用空间四边形及其对角线表示。正四面体的对偶是其自身。

三角锥和四面体的区别

1、中心原子不同:四面体是指中心原子在四面体体心。三角锥中的中心原子在顶角上。2、原子个数不同:虽然都是外形都是四面体,但四面体型的分子有五个原子。三角锥的分子只有四个原子。3、四面体和三角锥都是sp³杂化:三角锥形分子一般由四个原子组成,中心原子sp³杂化(有一对孤电子对),中心原子处于另外三原子构成平面之外,如NH₃等。而四面体一般由五个原子构成,中心原子sp³杂化,中心原子处于其他四原子构成的四面体的中心,如一氯甲烷,二氯甲烷等。扩展资料四面体形构型的反转常在有机化合物及主族元素化合物中。瓦尔登翻转是指手性中心碳原子发生的构型转换。若将氨也视为四面体形构型(考虑其孤对电子),氨的氮反转中也有出现平面三角形分子构型的过渡态。化学式是用元素符号表示物质组成的式子。分子晶体的化学式叫做分子式。如甲烷的分子结构式可以表示为→。结构式用“-”、“=”、“≡”分别表示1、2、3对共用电子;用“→”表示1对配位电子,箭头符号左方是提供孤对电子的一方,右方是具有空轨道、接受电子的一方。参考资料来源:百度百科-四面体构型参考资料来源:百度百科-构型参考资料来源:百度百科-结构式

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