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期权定价模型(期权定价公式)

期权的定价方法 这是一个老题目了,在知乎里也有一些类似的问题,但总感觉所有回答都有所欠缺,所以希望在这里对所有…

期权的定价方法

这是一个老题目了,在知乎里也有一些类似的问题,但总感觉所有回答都有所欠缺,所以希望在这里对所有的数值方法进行一个梳理。按照我个人的分类,期权定价的数值方法分为五个大类:解析解方法,树方法,偏微分方程数值解方法,蒙特卡洛方法,傅立叶变换方法。1)解析解方法:一个期权定价问题,其实就是根据已知的随机微分方程(SDE)模型,然后来求解关于这个随机过程函数表达式的过程。这也是为什么随机微积分和Ito lemma会是金融工程的核心知识之一,因为Ito直接告诉了我们一个随机过程的函数所满足的新SDE:\\\\rm{d}f(t, X_{t})=\\\\frac{\\\\partial f}{\\\\partial t}\\\\rm{d}t + \\\\frac{\\\\partial f}{\\\\partial X_t}\\\\rm{d}X_t + \\\\frac{1}{2}\\\\frac{\\\\partial^2 f}{\\\\partial X_t^2}\\\\rm{d}[X, X]_t然后,如果我们可以求出这个SDE的解析解,那么一个欧式无路径依赖期权的价格就是它在终值时刻折现的期望值。这就是一种期权定价的解析解方法,当然你也可以利用PDE来求解,由于Feynman Kac定理的存在,PDE和条件期望的答案会是一致的。而这类方法的优点是显而易见的,一旦解析解存在,那么期权的价格公式计算速度就会非常之快,不论做拟合还是优化都会有效率上质的提升,而这类方法的缺点也很明显,那就是,对于大部分模型和大部分奇异期权,解析解未必存在。2)树方法之所以叫树方法而不叫二叉树,是因为我们也将讨论三叉树模型,但其实本质思想是一模一样的。如果告知你了一个标的资产的波动率,那么你可以通过下述式子构造一个N段的二叉树的上下波动:u = \\\\rm{e}^{\\\\sigma\\\\sqrt{T/N}}, d = \\\\rm{e}^{-\\\\sigma\\\\sqrt{T/N}}然后利用逆推,来得到初始时刻的期权价格。那么三叉树呢?首先要明白一个道理,除了满足了下列条件的三叉树模型(u是上叉,d是下叉,l是中叉)其余的三叉树都是incomplete market。在其余的树模型下,我们只能做到super-replicate,而不能完成perfect hedge。而这独有的一种三叉树模型,也成为了最常用的树模型之一。或许有人好奇为什么有二叉树了,还有人使用更麻烦的三叉树。这是因为三叉树的收敛速度要高于二叉树。那么树模型的优缺点又是什么呢?树模型有一个任何连续时间模型都无法取代的优点,那就是每一个定价,在树模型里,不论美式、欧式、路径依赖、奇异,通过Backward Induction Principle得到价格,永远都是伴随着显式对冲策略的。而在连续时间模型里,想获得连续时间对冲策略的这类问题,是一个倒向随机微分方程(BSDE)问题,有很多时候并不是那么好解决的,尤其是当期权有奇异或美式属性的时候。另一方面,树模型缺点也显而易见,高维度问题树模型是不能解决的,所以对于多个标的资产的问题,尤其是具有相关系数的资产,我们只能诉之于他法。而从速度上来讲,树模型的收敛速度是要低于PDE方法的。3)PDE方法很多对于quantitative finance陌生的人也会听说过Black Scholes PDE。而实际上,不同的随机模型,都会对应不同的PDE。BS PDE只不过是单资产符合几何布朗运动随机模型的PDE表达罢了。因为对于期权,我们往往知晓它最终到期日的payoff,所以我们用payoff函数来作为这个PDE的终值条件。如果PDE存在解析解,最优办法自然也是求解析解。然而,如果解析解不存在,我们就必须诉诸数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分,也就是将所有变量构造一个网格,然后利用网格上的差分方法来估计偏导数,进而将PDE问题转化为代数问题。而对于期权定价的PDE,我们会根据期权的性质,获得这个PDE终值条件和边值条件。然而,有时候根据不同的模型,我们可能得到的并不是一个简单的PDE,而可能是PIDE(partial integral differential equation),也就是在PDE中多了积分项,这时候,我们需要同时再借助数值积分来完成数值计算。PDE的数值问题自然还有很多的选择,有限元、谱方法都在列。但期权定价PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非线性程度,边界也并没有那么奇怪,所以基本上有限差分是可以解决绝大部分问题的。有限差分法分三种:显式差分,隐式差分,交错差分。我们不深入研究算法,但几个点就是:稳定性上,显式差分是条件稳定的,另外两种都是无条件稳定;计算复杂度上,显示最简单,隐式次之,交错最繁琐;精确性上,显式、隐式是同阶的,交错差分的特殊情形,显式和隐式各占一半时,也就是Crank-Nicolson差分,精度会在时间上也上升一阶。另外,在期权定价中PDE有两大类,正向和倒向。传统的BS PDE就是倒向的一个典型例子,它的终值条件就是期权的payoff function。而一个倒向PDE所对应的正向PDE,它不再是期权价格满足的PDE,而是这个标的的“价格密度”所满足的PDE。这个“价格密度”被称为State price,或者Arrow Debreu price,抑或是Green function。而这个在我之前的一篇文章有介绍过Arrow Debreu price与快速拟合而PDE方法的缺点主要有两点:路径依赖问题,高维度问题。很多路径依赖问题的PDE形式是很麻烦,甚至无法表达的,比如亚氏期权,比如回望期权。而对于高维度问题,如果PDE的数值方法会从平面网格上升到空间网格,在复杂度上不但繁琐,而且在边值条件上更难以控制。而PDE的优点则是速度快,而且根据差分的数值方法,在计算Greeks的时候不需要加以再次的bumping计算。举个例子,如果不降维,一个具有两个assets的期权的有限差分就是这样的一个立方网格:4)蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是目前应用范围最广泛的方法了。因为不存在提前行权属性的期权价格其实就是一个期望,所以我们就可以通过模拟很多的路径,来用平均数估计真实期望。而美式或百慕大这种具有提前行权属性的期权,它的期权价格其实是一个随机优化问题。这类问题我们可以采用regression-based Monte Carlo,也就是最小二乘蒙特卡洛,利用regression来估计conditional NPV,然后再用蒙特卡洛求解当前价值。所以说,蒙特卡洛方法是最为general的方法了。然而,蒙特卡洛的缺点也是显而易见:因为要模拟上百万条路径,而且对于奇异期权还要做路径上的计算,美式更要做回归,蒙特卡洛方法成为了计算时间长的代名词。但幸运的是,我们有三种提速的方法:1,利用方差缩减,在保证方差恒定的基础上,可以减少模拟路径;2,利用Multi-level 蒙特卡洛,减少complexity;3,利用GPU或超级计算机,进行并行计算。对于普通蒙特卡洛方法,上述三种方法都是可行的,而且GPU的提速是非常显著的。对于方差缩减,得强调一点的就是,一般而言,最简单的方式是对偶变量,其次是控制变量,然后是利用条件期望,最难的是importance sampling,而在效果和适用范围上,它们的排序往往是刚好相反的。比如美式期权的最小二乘蒙特卡洛,方差缩减的最有效手法就是important sampling,其他方法的效果很小。这里另外再着重强调一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下:首先,正向模拟标的路径;其次,倒向在每个时间节点,对所有路径值进行回归,估算条件期望,直到初始时间点;最后,求平均。所以值得注意的一点就是,在这里,如果单纯使用GPU cluster进行提速,效果并不是很理想,因为路径模拟并不是最消耗时间的步骤,对所有路径回归才是。虽然如此,但其实还是可以用GPU cluster来对回归精度加以提升,比如可以将路径进行归类,然后将global regressor转换成多个local regressor。总的来说,蒙特卡洛方法是期权定价中适用范围最广的数值方法,但也是最慢的方法。然而,我们可以利用方差缩减、复杂度缩减,以及GPU计算来优化我们的蒙特卡洛算法,达到提速与增加精确性的目的。5)傅立叶方法傅立叶方法也被称为特征函数法,利用的就是对于很多的模型,它们的特征函数往往是显式表达的,比如靠具有independent increment的infinitely divisible process来决定的模型,因为在这样的情况下,我们有Levy-Khintchine representation,很多拟合性质很好的过程,比如Variance Gamma,Normal Inverse Gaussian都属于这一类。而特征函数实际上可以看作是一个随机变量的傅立叶变换,这也就是这个名字的由来。如果我们有显式表达的特征函数,我们可以通过傅立叶逆变换来得到原随机变量的密度,进而达到求解期权价格的目的。一般来讲,这样的方法要比PDE方法更加快速,因为数值积分的速度要比微分方程数值解的速度要快。然而,这类方法的缺陷也是显而易见的,路径依赖性和维度问题,以及我们必须要有显式表达的特征函数。总结:在这里,我们只讲一些面上的东西。具体深入的东西,我会在公众号:衍生财经上详谈。

期权定价模型(期权定价公式)插图

期权如何定价

  在期权运用中,大部分投资者无需知道模型的计算,不用拆解定价模型,只需要了解每个模型需要哪些因素、有什么差异、适用范围和优缺点,然后通过在期权计算器上输入变量即可得到期权的价格。期权行情软件也一般会自带期权计算器,直接给出理论价格。但是,缺点是投资者不知道这些理论价格采用的是哪个模型,也不知道输入的无风险利率以及价格波动水平等变量是多少。不过有些期权行情软件可以由投资者自行去设定无风险利率和波动率水平参数,另外,网上也有各种期权计算器。

  在分析定价模型前,先了解一下它的原理和假设条件。

  期权的定价模型源自“随机漫步理论”,也就是认为标的资产的价格走势是独立的,今天的价格和昨天的价格没有任何关系,即价格是无法预测的。另外,市场也需要是有效市场。在这个假设下,一连串的走势产生“正态分布”,即价格都集中在平均值周围,而且距离平均值越远,频率便越会下跌。

  举个例子,这种分布非常类似小孩玩的落球游戏。把球放在上方,一路下滑,最后落到底部。小球跌落在障碍物左边和右边的概率都是50%,自由滑落的过程形成随机走势,最后跌落到底部。这些球填补底部后,容易形成一个类似正态的分布。

  正态分布的定义比较复杂,但我们只需了解它是对称分布在平均值两边的、钟形的曲线,并且可以找出价格最终落在各个点的概率。在所有的潜在可能中,有68.26%的可能性是分布在正负第一个标准差范围内,有13.6%的可能性是分布在正负第二个标准差范围内,有2.2%的可能性是分布在正负第三个标准差范围内。

  期权的定价基础就是根据这个特征为基础的,即期权的模型是概率模型,计算的是以正态分布为假设基础的理论价格。但实际标的资产的价格走势并不一定是正态分布。比如,可能会出现像图片中的各种不同的状态。

  应用标准偏差原理的布林带指标,虽然理论上价格出现在三个标准偏差范围外的概率很低,只有0.3%(1000个交易日K线中只出现3次),但实际上,出现的概率远超过0.3%。因为期货价格或者说股票价格不完全是标准正态分布。两边的概率分布有别于标准正态分布,可能更分散,也可能更集中,表现为不同的峰度。比如股票价格的分布更偏向于对数正态分布。那么在计算期权价格的时候,有些模型会对峰度进行调整,更符合实际。

  另外,像股票存在成长价值,存在平均值上移的过程,而且大幅上涨的概率比大幅下跌的概率大,那么它的价格向上的斜率比向下的斜率大,所以平均值两边的百分比比例会不一样。为了更贴近实际,有些期权定价模型也会把偏度的调整计入定价。

期权的定价标准是什么?比如公司市值目前60亿

期权价格的定价标准非常复杂,合约标的当前价格、行权价格、合约到期剩余时间、市场无风险利率、标的价格预期波动率等因素都会影响期权价格。
1.合约标的当前价格
合约标的当前价格对期权价格的影响非常重要,在其他变量不变的情况下,合约标的价格上涨,则认购期权价格上涨,而认沽期权价格下跌。对于行权价格为10元的认购期权来说,如果标的价格从9元上涨到11元,那么合约就从虚值变成了实值,因此期权的价格也会相应上涨。而对于同样行权价格为10元的认沽期权来说,如果标的价格从9元涨到11元,期权就从实值变成了虚值,其价格会下跌。
2.行权价
在其他变量不变的情况下,对于认购期权来说,行权价越高,期权价格越低,认沽期权则相反。因此,行权价为55元的认购期权比65元的认购期权贵,这是因为期权买方可以以更低的价格买入标的证券,购买价格更优越,而行权价为75元的认沽期权则比65元的认沽期权贵,因为期权买方可以以更高的价格卖出标的证券。
3. 合约到期剩余时间
对于期权来说,期权到期期限越长,期权买方获利的可能性越大,期权卖方须承担的风险也越大,因此期权价格越高。从另外一个角度看,期权到期期限越长,期权的时间价值也就越高。如果把期权比作保险,保险期间越长,所支付的保险费理应越高。
4.市场无风险利率
对于期权来说,时间代表了获利的机会。因此,期权的到期剩余时间越长,它能转化为实值期权的可能性就越大,买方也就更愿意付出更高的权利金。在其他变量不变的情况下,到期剩余时间越长的期权对于期权买方的价值越高,对期权卖方风险越大,其价格也因此更高。。
5.标的价格预期波动率
标的价格的预期波动率是用来衡量标的证券未来价格变动不确定性的指标,简单地说,标的证券价格波动率越高,期权合约到期时成为实值期权的可能性就越高,因此相应合约具有更高的价格。
波动率分为历史波动率和隐含波动率,前者是从标的证券价格的历史数据中计算出的收益率的标准差,后者是通过期权现价反推出来的波动率,反映的是市场对未来存续期内标的证券价格波动的判断。在股票市场中,投资者习惯用市盈率判断股价高低,在期权市场中,隐含波动率成为类似市盈率的估值工具,投资者可以通过比较隐含波动率和历史波动率,判断期权价格被高估还是低估,从而进行卖出或买入的操作。

什么是期权定价的BS公式?

  Black-Scholes-Merton期权定价模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model),即布莱克—斯克尔斯期权定价模型。

  B-S-M定价公式
  C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
  其中:
  d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
  d2=d1-σ·√T
  C—期权初始合理价格
  X—期权执行价格
  S—所交易金融资产现价
  T—期权有效期
  r—连续复利计无风险利率
  σ—股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)

  N(d1),N(d2)—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:

  第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次,而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0.0583,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

  第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274。

BS期权定价公式

Black-Scholes-Merton期权定价模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model),即布莱克—斯克尔斯期权定价模型。
B-S-M定价公式
C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
其中:
d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)
N(d1),N(d2)—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:
第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次,而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0.0583,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274。

期权定价问题

(25-20)-2+1=4
23-20-2+1=2
2-1=1(股票下跌不执行期权,损失等于期权买入价格和卖出价格的差额)
股票价格为21
执行合约21-20=1
刚好等于你买入期权卖出期权的差额
所以盈亏平衡

简述几个期权定价模型

上证50etf期权 T+0双向交易模式。

具体到底如何交易?
很多人的疑问是,看了很多介绍还是没有直观的感觉,不知道该具体该如何操作。说下案例【认购期权】:
比如目前50ETF价格是2.5元/份。你认为上证50指数在未来1个月内会上涨,于是选择购买一个月后到期的50ETF认购期权。假设买入合约单位为10000份、行权价格为2.5元、次月到期的50ETF认购期权一张。而当前期权的权利金为0.1元,需要花0.1×10000=1000元的权利金。
在合约到期后,有权利以2.5元的价格买入10000份50ETF。也有权利不买。
假如一个月后,50ETF涨至2.8元/份,那么你肯定是会行使该权利的,以2.5元的价格买入,并在后一交易日卖出,可以获利约(2.8-2.5)×10000=3000元,减去权利金1000元,可获得利润2000元。如果上证50涨的更多,当然就获利更多。
相反,如果1个月后50ETF下跌,只有2.3元/份,那么你可以放弃购买的权利,则亏损权利金1000元。也就是不论上证50跌到什么程度,最多只损失1000元。

期权价值和期权价格的区别

期权之所以有价值,是因为买入期权,便拥有了在约定的时间以约定的价格买入或卖出标的资产的权利。拥有了这种权利,便有可能在未来以优于市场价的价格买卖标的资产。为了获得这种权利,买方需支付一定的权利金,也就是期权的价格。那么,期权价格和期权价值有哪些区别呢?

含义不同:
期权价格,即权利金,指的是期权买卖双方在达成期权交易时,由买方向卖方支付的购买该项期权的金额。
当投资者买进期权时,实际上他们是在买一定时间内希望会发生作用的概率。买权反映价格上动的概率,卖权反映价格下动的概率。

计算方法不同:
期权价值指的是期权本身的内在价值随时间的推移或逐步削减且期权价格围绕着期权价值上下波动。
期权价格(权利金)是由“内在价值”和“时间价值”两个部分组成。期权的内在价值是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。期权的时间价值还受期权内在价值的影响。实值期权权利金=内在价值 + 时间价值;平值期权权利金=时间价值;虚值期权权利金=时间价值。

总的来说,期权价格和价值的区别,价格由市场供需关系决定,价值可以计算出来,价格总是接近于期权的价值。

什么是Black-Scholes的期权定价模型

一个广为使用的期权定价模型,获Nobel Prize。
由BlackScholoes和Melton提出的。
具体证明我就不写了你可以去看原始Paper。
简单说一下:
首先,股价随机过程是马氏链(弱式有效)
假设股价收益率服从维纳过程(布朗运动的数学模型)
则衍生品价格为股价的函数。由ito引理可知衍生品价格服从Ito过程(飘移率和方差率是股价的函数)
第二:通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券,Blacksholes发现可以建立一个无风险组合。根据有效市场中无风险组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程: Black-Scholes微分方程。
第三:根据期权或任何衍生品的条约可列出边界条件。带入微分方程可得定价公式

大概是这个过程,不过这是学校里学的,工作以后Bloomberg终端上会自动帮你计算的。
如果OTC结构化产品定价的话,会更熟悉各种边界条件带入微分方程。不止是简单得Call和Put。

另外你可以理解BSM模型为二叉树模型的极限形式(无限阶段二叉树)

如何理解 Black-Scholes 期权定价模型

Black-Scholes-Merton期权定价模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model),即布莱克-斯克尔斯期权定价模型。
1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(Robert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes),同时肯定了布莱克的杰出贡献。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。

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