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一元二次方程公式法(一元二次方程公式大全)

一元二次方程万能公式多少 一元二次方程ax^2+bx+c=0的万能公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a…

一元二次方程万能公式多少

一元二次方程ax^2+bx+c=0的万能公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。解:对于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0),可以进行化简得,x^2+b/a*x+c/a=0x^2+2*b/2a*x+(b/a)^2-(b/2a)^2+c/a=0(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/a^2那么可解得x+b/2a=√(b^2-4ac))/2a,或者x+b/2a=-√(b^2-4ac))/2a。那么x=(-b+√(b^2-4ac))/2a,或者x=(-b-√(b^2-4ac))/2a。所以一元二次方程的万能解公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。扩展资料:二次函数性质对于二次函数y=ax^2+bx+c(其中a≠0)。有如下性质。1、二次函数的图像是抛物线。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/(2a)。2、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。|a|越大,则抛物线的开口越小;|a|越小,则抛物线的开口越大。3、抛物线与x轴交点个数(1)当△=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。(2)当△=b^2-4ac=1时,抛物线与x轴有1个交点。(3) 当△=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。参考资料来源:百度百科-一元二次方程

一元二次方程公式法(一元二次方程公式大全)插图

一元二次方程公式

你想知道什么公式?
韦达定理
一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0 且△=b²-4ac≥0)中

设两个根为X1和X2

则X₁+X₂= -b/a

X₁X₂=c/a
求根公式
  首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

  1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根(初中)

  2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2

  3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根

  当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:
x={-b±√(b²-4ac)}/2a 来求得方程的根

一元二次方程的所有公式

一元二次方程解法  一元二次方程的解法
  一、知识要点:
  一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。
  一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
  解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:
  1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
  二、方法、例题精讲:
  1、直接开平方法:
  直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .
  例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9×2-24x+16=11
  分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
  (1)解:(3x+1)2=7×
  ∴(3x+1)2=5
  ∴3x+1=±(注意不要丢解)
  ∴x=
  ∴原方程的解为x1=,x2=
  (2)解: 9×2-24x+16=11
  ∴(3x-4)2=11
  ∴3x-4=±
  ∴x=
  ∴原方程的解为x1=,x2=
  2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
  先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
  将二次项系数化为1:x2+x=-
  方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
  方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
  当b^2-4ac≥0时,x+ =±
  ∴x=(这就是求根公式)
  例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注:X^2是X的平方)
  解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
  将二次项系数化为1:x2-x=
  方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
  配方:(x-)2=
  直接开平方得:x-=±
  ∴x=
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
  例3.用公式法解方程 2×2-8x=-5
  解:将方程化为一般形式:2×2-8x+5=0
  ∴a=2, b=-8, c=5
  b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
  ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
  例4.用因式分解法解下列方程:
  (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2×2+3x=0
  (3) 6×2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
  (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
  x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
  (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
  ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
  (2)解:2×2+3x=0
  x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
  ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
  注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
  (3)解:6×2+5x-50=0
  (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
  ∴2x-5=0或3x+10=0
  ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
  (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
  (x-2)(x-2 )=0
  ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
  小结:
  一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
  直接开平方法是最基本的方法。
  公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
  配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
  解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
  例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
  (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
  (3) x2-2 x=- (4)4×2-4mx-10x+m2+5m+6=0
  分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
  (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
  (3)化成一般形式后利用公式法解。
  (4)把方程变形为 4×2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
  (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
  [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
  (5x-5)(-x+13)=0
  5x-5=0或-x+13=0
  ∴x1=1,x2=13
  (2)解: x2+(2- )x+ -3=0
  [x-(-3)](x-1)=0
  x-(-3)=0或x-1=0
  ∴x1=-3,x2=1
  (3)解:x2-2 x=-
  x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
  △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
  ∴x=
  ∴x1=,x2=
  (4)解:4×2-4mx-10x+m2+5m+6=0
  4×2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
  [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
  2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
  ∴x1= ,x2=
  例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
  分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)
  解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
  即 (5x-5)(2x-3)=0
  ∴5(x-1)(2x-3)=0
  (x-1)(2x-3)=0
  ∴x-1=0或2x-3=0
  ∴x1=1,x2=是原方程的解。
  例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
  解:x2+px+q=0可变形为
  x2+px=-q (常数项移到方程右边)
  x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
  (x+)2= (配方)
  当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
  ∴x=- ±=
  ∴x1= ,x2=
  当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
  说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。
  练习:
  (一)用适当的方法解下列方程:
  1. 6×2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
  3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
  5. 3×2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
  (二)解下列关于x的方程
  1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
  练习参考答案:

一元二次方程的求根公式

<p>一元二次方程必须同时满足三个条件:</p><ol><li><p>是整式方程,即等号两边都是整式。</p></li><li><p>只含有一个未知数。</p></li><li><p>未知数项的最高次数是2。</p></li><li><p>求根公式为:[-b±√(b^2-4ac)]/2a<br /></p></li></ol>

一元二次方程两个解的和公式是多少

一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下^是平方的意思。)一、直接开平方法。如:x^2-4=0解:x^2=4x=±2(因为x是4的平方根)∴x1=2,x2=-2二、配方法。如:x^2-4x+3=0解:x^2-4x=-3配方,得(配一次项系数一半的平方)x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2,原式的值不变)(x-2)^2=1【方程左边完全平方公式得到(x-2)^2】x-2=±1x=±1+2∴x1=1,x2=3三、公式法。(公式法的公式是由配方法推导来的)-b±∫b^2-4ac(-b加减后面是根号下b^2-4ac)公式为:x=——————————————-(用中2a文吧,希望你能理解:2a分之-b±根号下b^2-4ac)利用公式法首先要明确什么是a、b、c。其实它们就是最标准的二元一次方程的形式:ax^2+bx+c=0△=b2-4ac称为该方程的根的判别式。当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根。有些时候,做到b2-4ac<0时,需要讨论△,因为根号下的数字是非负数,<0也就没有实数根,也就没有做的意义了。a代表二次项的系数,b代表着一次项系数,c是常数项注意:用公式法解一元二次方程时首先要化成一般形式,也就是ax^2+bx+c=0的形式,然后才能做。解题时按照上面的公式,把数字带入计算就OK了。这对任何一元二次方程都可以操作。记得采纳啊

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