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等差数列求和公式(等差数列公式)

等差数列 f(0)=a0=105,f(1)=a0+a1+a2+…+an=105, (式一)f(-1…

等差数列

f(0)=a0=105,
f(1)=a0+a1+a2+…+an=105, (式一)
f(-1)=a0-a1+a2-…+(-1)^n*an=15,
则,[f(1) + f(-1)]/2 = a0 + a2 + a4 +… = 60
[f(1) – f(-1)]/2 = a1 + a3 + a5… = 45
又由等差数列得,式一等于 (a0+an)*(n+1)/2=105 式1
若n为偶数
(a0+an)/2 * ((n+2)/2)) =60 式2,
由式1、2得n = 6 ,an = -75
若n为奇数,
(a1+an)/2 * (n+1)/2 =45 式3(又因为an=a0+n*d,a0 + an + d = a1+an,d为公差),
由式3得n*(d+1)=-210,但式1、3得n*(d+1)=-120,故而不可能,
结论n为偶数且等于6,an=-75

等差数列求和公式(等差数列公式)插图

什么是等差数列?

相邻两项之间的差为常数的一类数列或者任意相邻两项的差相等的数列.
等差数列的递推公式an=a(n-1)+d d为公差 an为第n项 a(n-1)为第n-1项
通项公式an=a1+(n-1)d
前n项和S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2
等差数列前n项和公式S 的基本性质
  ⑴数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).   ⑵在等差数列中,当项数为2n (n∈ N+)时, S偶-S奇 = nd, S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时,S奇—S偶=a中 ,S奇÷S偶 =n÷(n-1) .   ⑶若数列为等差数列,则S n,S2n -Sn ,S3n -S 2n,…仍然成等差数列,公差为k^2d .   ⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = .   ⑸在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b).   ⑹等差数列中, 是n的一次函数,且点(n, )均在直线y = x + (a - )上.   ⑺记等差数列的前n项和为S .①若a >0,公差d

等差数列,

Sn+1=(n+1)(n+1)+2(n+1)+5
An+1=Sn+1 – Sn
=(n+1)(n+1)+2(n+1)+5 – (n*n+2*n+5)
=2n+3
=2(n+1)+1
所以An=2n+1,其中n>=2;
当n=1时,A1=S1=1*1+2*1+5=8;
故猜测数列{An}首项a1=8,并当n>=2时,是以A2=2*2+1=5为首项,公差d=An+1 – An=2的等差数列.
证明:1、当n=1时,A1=S1=1*1+2*1+5=8;由题意可知,猜测成立。
2、当n=2时,S2=2*2+2*2+5=13,A2=S2-S1=5=2*2+1;
当n=3时,S3=3*3+2*3+5=20,A3=S3-S2=7=2*3+1;
d=S3-S2=7-5=2,猜测成立。
3、当n>3时,由题意Sn=n*n+2*n+5,
Sn-1=(n-1)(n-1)+2(n-1)+5=n*n+4;
An=Sn – Sn-1=n*n+2n+5-(n*n+4)
=2n+1,猜测成立。
由以上1、2、3证明可知,对任何自然数n,猜测成立。
所以数列{An}首项a1=8,并当n>=2时,是以A2=2*2+1=5为首项,公差d=An+1 – An=2的等差数列.

对于此类数列题目,最忌一开始就使用公式An=Sn – Sn-1,因为此时的n不能等于,如果不排除1,那么A1=S1 – S0,显然这种做法是不可取的,因而想到了公式An+1=Sn+1 – Sn.但做完后发现落下了A1,这时就需要猜测和证明了。其他的就不讲解了,望学弟学妹以后自己细心专研!

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数学等差数列是什么意思

等差数列,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。

1.日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按照等差数列进行分级。
若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)=-(p+q)。
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
2.按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策,购置房地产按揭货款(公积金贷款)制度的推出,极大地刺激了人们的消费欲望,扩大了内需,有效地拉动了经济增长。
众所周知,按揭货款(公积金贷款)中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的,此外若干月后,还应归还银行多少本金,这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
……
an+1=an(1+p)-a,…………………….(*)
将(*)变形,得 (an+1-a/p)/(an-a/p)=1+p.
由此可见,{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项,1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题,均可根据此式计算。

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